Black and Scholes

Black and Scholes é o modelo de precificação de opções proposto pelos economistas Fisher Black e Myron Scholes, o qual é amplamente difundido entre investidores e traders.

O modelo foi desenvolvido a partir de princípios físicos e matemáticos e publicado em um artigo em 1973 sob  título: “The Pricing of Options and Corporate Liabilities” (A precificação de opções e a responsabilidade corporativa). Posteriormente, em 1977, seus autores foram agraciados com o Prêmio Nobel da Economia pelo trabalho realizado.

Seu cálculo utiliza uma série de variáveis como os preços atuais da opção analisada, seu preço de exercício (strike), os dividendos esperados, as taxas de juros projetada, o tempo decorrente até sua expiração e a volatilidade esperada –  a fim de reduzir as incertezas e aumentar a previsibilidade dos preços finais dos contratos derivativos, de acordo com sua volatilidade.

Sua aplicação assume algumas premissas:

• O preço do ativo subjacente (ação, moeda, commodity, etc.) é um processo estocástico (padrão indeterminado com origem em eventos aleatórios);
• O mercado possibilita uma taxa de juros livre de risco constante e conhecida (taxa Selic no caso brasileiro);
• O preços seguem um movimento Browniano geométrico com tendência e volatilidade constantes, além do retorno médio esperado;
• Não são considerados os custos de transação;
• Não são considerados os pagamento de dividendos durante a vida do derivativo (opção);
• Não há possibilidade de realizar operações de arbitragem (obter retorno sem risco).

Além disso, o Black and Scholes considera apenas as opções do tipo “europeu” – aquelas onde o exercício ocorre apenas na sua data de vencimento.

As fórmulas específicas para calcular as puts e calls são:

• Call:

• Put:

onde:

• C: preço da opção de compra;
• P: preço da opção de venda;
• N(.): a função de distribuição acumulada normal padrão;
• T-t (τ): evolução do tempo em anos;
• St: preço do derivativo em função do tempo e preço da ação;
• K: preço de exercício da opção;
• r: taxa de juros livre do risco anualizada (Selic);
• σ: volatilidade da ação.